% 例題A1.2.23：大小関係を満たす整数 （One More）★★★
$a$から$d$を0から9までの整数とするとき,次の条件を満たす$a,b,c,d$の組は何通りあるか. (1)$a<b<c<d$(2)$a \leqq b \leqq c \leqq d$(3)$a<b \leqq c<d$
% 解答（例題A1.2.23）
(1)0から9までの10個の数から異なる4個を選び,小さい数から順に$a,b,c,d$とすればよいから,$${ }_{10} \mathrm{C}_4=210(\text{通り})$$(2)0から9までの10個の数から重複を許して4個を選び,小さい数から順に$a,b,c,d$とすればよい. よって,求める組の総数は4個の$\bigcirc$と9本の$|$を並べる順列に一致するから,$${ }_{13} \mathrm{C}_4=715(\text{通り})$$(3) (i)$a<b=c<d$のとき 0から9までの10個の数から異なる3個を選び,小さい数から順に$a,b$と$c,d$とすればよいから,$${ }_{10} \mathrm{C}_3=120 (\text{通り})$$(ii)$a<b<c<d$のとき (1)より,${ }_{10} \mathrm{C}_4=210(\text{通り})$よって,(i),(ii)より,$120+210=330(\text{通り})$
% 問題A1.2.23
$a$から$e$を0から9までの整数とするとき,次の条件を満たす$a,b,c,d,e$の組は何通りあるか. (1)$a<b<c<d<e$(2)$a \leqq b \leqq c \leqq d \leqq e$(3)$a<b \leqq c<d<e$
% 解答A1.2.23
(1)0から9までの10個の数から異なる5個を選び,小さい数から順に$a,b,c,d,e$とすればよいから,$${ }_{10} \mathrm{C}_5=252(\text{通り})$$(2)0から9までの10個の数から重複を許して5個を選び,小さい数から順に$a,b,c,d,e$とすればよい. よって,求める組の総数は5個の$\bigcirc$と9本の$|$を並べる順列に一致するから,$${ }_{14} \mathrm{C}_5=2002(\text{通り})$$(3) (i)$a<b=c<d<e$のとき 0から9までの10個の数から異なる4個を選び,小さい数から順に$a,b$と$c,d,e$とすればよいから,$${ }_{10} \mathrm{C}_4=210 (\text{通り})$$(ii)$a<b<c<d<e$のとき (1)より,${ }_{10} \mathrm{C}_5=252(\text{通り})$よって,(i),(ii)より,$210+252=462(\text{通り})$
