% 例題A1.1.1：集合の要素の個数1 （One More）★
3桁の自然数のうち,次のような数の個数を求めよ. (1)5の倍数かつ8の倍数の数 (2)5の倍数または8の倍数の数 (3)5で割り切れるが8で割り切れない数 (4)5でも8でも割り切れない数
% 解答（例題A1.1.1）
100以上999以下の自然数全体の集合を$U$とし,そのうち,5の倍数,8の倍数全体の集合をそれぞれ$A,B$とする. このとき,$n(U)=999-100+1=900$$A=\{5 \cdot 20,5 \cdot 21, \cdots ,5 \cdot 199\}$,$B=\{8 \cdot 13,8 \cdot 14, \cdots ,8 \cdot 124\}$であるから,$$n(A)=199-20+1=180, n(B)=124-13+1=112$$(1)5の倍数かつ8の倍数,すなわち,40の倍数全体の集合は$A\cap B$であるから,$$A\cap B={\{40 \cdot 3,40 \cdot 4, \cdots ,40 \cdot 24\}}$$よって,$n(A \cap B)=24-3+1=22(\text{個})$(2)5の倍数または8の倍数全体の集合は$A\cup B$であるから,$$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)=180+112-22=270(\text{個})$$(3)5で割り切れるが8で割り切れない数全体の集合は$A \cap \overline{B}$であるから,$$n(A \cap \overline{B})=n(A)-n(A \cap B)=180-22=158(\text{個})$$(4)5でも8でも割り切れない数全体の集合は$\overline{A} \cap \overline{B}$であるから,$$n(\overline{A \cap \overline{B})=n(\overline{A \cup B})} =n(U)-n(A \cup B) =900-270=630(\text{個})$$
% 問題A1.1.1
100から200までの整数のうち,次のような数の個数を求めよ. (1)5でも6でも割り切れる数 (2)5または6で割り切れる数 (3)5で割り切れるが6で割り切れない数 (4)5でも6でも割り切れない数
% 解答A1.1.1
100以上200以下の整数全体の集合を$U$とし,そのうち,5で割り切れる数,6で割り切れる数全体の集合をそれぞれ$A,B$とする. このとき,$n(U)={200-100+1}=101$$A=\{5 \cdot 20,5 \cdot 21, \cdots ,5 \cdot 40\}$,$B=\{6 \cdot 17,6 \cdot 18, \cdots ,6 \cdot 33\}$であるから,$$n(A)={40-20+1=21}, n(B)={33-17+1=17}$$(1)5でも6でも割り切れる数,すなわち,30で割り切れる数全体の集合は$A\cap B$であるから,$$A\cap B={\{30 \cdot 4,30 \cdot 5, \cdots ,30 \cdot 6\}}$$よって,$n(A \cap B)={6-4+1}=3(\text{個})$(2)5または6で割り切れる数全体の集合は$A\cup B$であるから,$$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)=21+17-3=35(\text{個})$$(3)5で割り切れるが6で割り切れない数全体の集合は$A \cap \overline{B}$であるから,$$n(A \cap \overline{B})=n(A)-n(A \cap B)=21-3=18(\text{個})$$(4)5でも6でも割り切れない数全体の集合は$\overline{A} \cap \overline{B}$であるから,$${n(\overline{A} \cap \overline{B})=n(\overline{A \cup B})} =n(U)-n(A \cup B) =101-35=66(\text{個})$$
