問題の解答
検索用コード（LaTeX）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 例題A1.1.1：集合の要素の個数1（One More）★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3桁の自然数のうち，次のような数の個数を求めよ．
(1) 5の倍数かつ8の倍数の数
(2) 5の倍数または8の倍数の数
(3) 5で割り切れるが8で割り切れない数
(4) 5でも8でも割り切れない数
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 例題A1.1.1の解答（One More）★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
100以上999以下の自然数全体の集合を$U$とし，そのうち，5の倍数，8の倍数全体の集合をそれぞれ$A,B$とする．
このとき，$n(U)=999-100+1=900$
$A=\{5\cdot 20,5\cdot 21,\cdots,5\cdot 199\}$,$B=\{8\cdot 13,8\cdot 14,\cdots,8\cdot 124\}$であるから，
\[
n(A)=199-20+1=180,n(B)=124-13+1=112
\]
(1) 5の倍数かつ8の倍数，すなわち，40の倍数全体の集合は$A\cap B$であるから，
\[
A\cap B={\{40\cdot 3,40\cdot 4,\cdots,40\cdot 24\}}
\]
よって，$n(A\cap B)=24-3+1=22(\text{個})$
(2) 5の倍数または8の倍数全体の集合は$A\cup B$であるから，
\[
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=180+112-22=270(\text{個})
\]
(3) 5で割り切れるが8で割り切れない数全体の集合は$A\cap\overline{B}$であるから，
\[
n(A\cap\overline{B})=n(A)-n(A\cap B)=180-22=158(\text{個})
\]
(4) 5でも8でも割り切れない数全体の集合は$\overline{A}\cap\overline{B}$であるから，
\[
n(\overline{A}\cap\overline{B})=n(\overline{A\cup B})=n(U)-n(A\cup B)=900-270=630(\text{個})
\]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 問題A1.1.1：集合の要素の個数1（One More）★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
100から200までの整数のうち，次のような数の個数を求めよ．
(1) 5でも6でも割り切れる数
(2) 5または6で割り切れる数
(3) 5で割り切れるが6で割り切れない数
(4) 5でも6でも割り切れない数
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 問題A1.1.1の解答（One More）★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
100以上200以下の整数全体の集合を$U$とし，そのうち，5で割り切れる数，6で割り切れる数全体の集合をそれぞれ$A,B$とする．
このとき，$n(U)={200-100+1}=101$
$A=\{5\cdot 20,5\cdot 21,\cdots,5\cdot 40\}$,$B=\{6\cdot 17,6\cdot 18,\cdots,6\cdot 33\}$であるから，
\[
n(A)={40-20+1=21},n(B)={33-17+1=17}
\]
(1) 5でも6でも割り切れる数，すなわち，30で割り切れる数全体の集合は$A\cap B$であるから，
\[
A\cap B={\{30\cdot 4,30\cdot 5,\cdots,30\cdot 6\}}
\]
よって，$n(A\cap B)={6-4+1}=3(\text{個})$
(2) 5または6で割り切れる数全体の集合は$A\cup B$であるから，
\[
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+17-3=35(\text{個})
\]
(3) 5で割り切れるが6で割り切れない数全体の集合は$A\cap\overline{B}$であるから，
\[
n(A\cap\overline{B})=n(A)-n(A\cap B)=21-3=18(\text{個})
\]
(4) 5でも6でも割り切れない数全体の集合は$\overline{A}\cap\overline{B}$であるから，
\[
{n(\overline{A}\cap\overline{B})=n(\overline{A\cup B})}=n(U)-n(A\cup B)=101-35=66(\text{個})
\]
あわせて読みたい
【数学A】1章：場合の数（基本事項）
検索用コード（LaTeX） 本文・解答側注 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 基本事項A1.1.1：集合（One More） %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%...
あわせて読みたい
【数学A】1章：場合の数（節末問題・章末問題）
節末A1.1.1〜A1.1.5の解答 節末A1.1.1節末A1.1.2節末A1.1.3節末A1.1.4節末A1.1.5 リンク（関連例題） https://onemath.net/onemorea-reidai1-1-2 https://onemath.net/o...