【数学A】例題1.2.1：0を含む数字の順列（One More）★★

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% 例題A1.2.1：0を含む数字の順列（One More）★★
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$0,1,2,3,4,5$の6個の数字の中から異なる4個の数字を選んで4桁の整数を作る．このとき，次のような数の個数を求めよ．

(1) すべての整数

(2) 偶数

(3) 3の倍数

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% 例題A1.2.1の解答（One More）★★
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(1) 千の位の数字は0以外の数であるから，5通り

そのそれぞれについて，百，十，一の位に0を含めた残りの5個の数字から3個を選んで並べると，4桁の整数となる．

よって，求める個数は，$5\times{}_5\mathrm{P}_3=5\times(5\times 4\times 3)=300(\text{個})$

(2) 4桁の整数が偶数となるから，一の位は$0,2,4$である．

(i) 一の位が0のとき

千，百，十の位に残りの5個の数字から3個を選んで並べればよいので，その個数は，${}_5\mathrm{P}_3=5\times 4\times 3=60(\text{個})$

(ii) 一の位が2または4のとき

一の位は2，4の2通りあり，そのそれぞれについて，千の位は0以外で一の位の数字を除く4通りある．百と十の位は残りの4個の数字から2個を選んで並べればよいので，その個数は，$2\times 4\times{}_4\mathrm{P}_2=96(\text{個})$

よって，(i)，(ii)より，求める個数は，$60+96=156(\text{個})$

(3) 3の倍数となるのは，各位の数の和が3の倍数のときである．その4個の数の組は，$\{0,1,2,3\},\{0,1,3,5\},\{0,2,3,4\},\{0,3,4,5\},\{1,2,4,5\}$の5つの場合がある．

(i) 選んだ4個の数に0を含むとき

$\{0,1,2,3\},\{0,1,3,5\},\{0,2,3,4\},\{0,3,4,5\}$の4組があり，それぞれの組でできる4桁の整数は，千の位は0ではないから，$3\times 3!=18(\text{個})$

よって，$4\times 18=72(\text{個})$

(ii) 選んだ4個の数に0を含まないとき

$\{1,2,4,5\}$の1組があり，この4個の数でできる4桁の整数は，$4!=24(\text{個})$

よって，(i)，(ii)より，求める個数は，$72+24=96(\text{個})$

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% 問題A1.2.1：0を含む数字の順列（One More）★★
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$0,1,2,3,4$の5個の数字の中から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る．このとき，次のような数の個数を求めよ．

(1) すべての整数

(2) 奇数

(3) 3の倍数

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% 問題A1.2.1の解答（One More）★★
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(1) 百の位の数字は0以外の数であるから，4通り

そのそれぞれについて，十，一の位に0を含めた残りの4個の数字から2個を選んで並べると，3桁の整数となる．

よって，求める個数は，$4\times{}_4\mathrm{P}_2=4\times(4\times 3)=48(\text{個})$

(2) 3桁の整数が奇数となるから，一の位は$1,3$であり，2通り

そのそれぞれについて，百の位は0以外で一の位の数字を除く3通りある．

十の位の数字の選び方は3通りあるから，

\[
2\times 3\times 3=18(\text{個})
\]

(3) 3の倍数となるのは，各位の数の和が3の倍数のときである．その3個の数の組は，$\{0,1,2\},\{0,2,4\},\{1,2,3\},\{2,3,4\}$の4つの場合がある．

(i) 選んだ3個の数に0を含むとき

$\{0,1,2\},\{0,2,4\}$の2組があり，それぞれの組でできる3桁の整数は，百の位は0ではないから，$2\times 2!=4(\text{個})$

よって，$2\times 4=8(\text{個})$

(ii) 選んだ3個の数に0を含まないとき

$\{1,2,3\},\{2,3,4\}$の2組があり，この3個の数でできる3桁の整数は，$3!=6(\text{個})$

よって，$2\times 6=12(\text{個})$

よって，(i)，(ii)より，求める個数は，$8+12=20(\text{個})$

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% 例題A1.2.1の側注：0を含む数字の順列（One More）★★
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% 側注1
一の位が0のとき，最高位は0にはならない．

% 側注2
最高位は0にはならないので注意すること．

% 側注3
最高位は0にはならないので，千の位から考える．

% 側注4
各位の数の和が6，9，12になる場合を考える．なお，倍数の判定法については，数学Aの「数学と人間の活動」で詳しく学習する．

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% 問題A1.2.1の側注：0を含む数字の順列（One More）★★
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% 側注1
最高位は0にはならないので，百の位から考える．

% 側注2
各位の数の和が3，6，9になる場合を考える．

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% 例題A1.2.1の考え方・補足など：0を含む数字の順列（One More）★★
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% 考え方
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(1) 0を含む数字の順列の問題では，最高位は0にはならないことに注意すること．

(2) 偶数になるのは，一の位が偶数，すなわち，0，2，4の場合である．このとき，一の位で0を選ぶか否かで千の位の考え方が異なる（場合分けをするとよい）．

(3) 3の倍数となるのは，各位の数の和が3の倍数のときであることを利用する．

[width=4cm]4桁の整数の場合