% 例題A1.2.12：長方形の個数 （One More）★★
縦の長さが5,横の長さが7の長方形を,右の図のように縦を5等分,横を7等分に区切るとする.このとき,この図形に含まれる線分を辺とする次の図形の個数を求めよ. (1)長方形の個数 (2)正方形の個数
% 解答（例題A1.2.12）
(1)8本の縦線から2本を選び,6本の横線から2本を選ぶと1個の長方形が定まる. よって,長方形の個数は,$${ }_8 \mathrm{C}_2 \times { }_6 \mathrm{C}_2=28 \times 15=420(\text{個})$$(2)この図形には,1辺が1,2,3,4,5の5種類の正方形が含まれている. 1辺が1の正方形は,縦線,横線から幅が1の2本を選ぶと, 1個の正方形が定まる. したがって,縦線7通り,横線5通りより,$7\times 5=35(\text{個})$同様に,1辺が2の正方形は,縦線6通り,横線4通りより,$6\times 4=24(\text{個})$1辺が3の正方形は,縦線5通り,横線3通りより,$5\times 3=15(\text{個})$1辺が4の正方形は,縦線4通り,横線2通りより,$4\times 2=8(\text{個})$1辺が5の正方形は,縦線3通り,横線1通りより,$3\times 1=3(\text{個})$よって,正方形の個数は,$$35+24+15+8+3=85(\text{個})$$
% 問題A1.2.12
縦の長さが4,横の長さが7の長方形を,右の図のように縦を4等分,横を7等分に区切るとする.このとき,この図形に含まれる線分を辺とする次の図形の個数を求めよ. (1)(1)長方形の個数 (2)(2)正方形の個数 (1)(3)長方形であって正方形ではないもの
% 解答A1.2.12
(1)8本の縦線から2本を選び,5本の横線から2本を選ぶと1個の長方形が定まる. よって,長方形の個数は,${ }_8 \mathrm{C}_2 \times { }_5 \mathrm{C}_2=28 \times 10=280(\text{個})$(2)この図形には,1辺が1,2,3,4の4種類の正方形が含まれている. 1辺が1の正方形は,縦線,横線から幅が1の2本を選ぶと, 1個の正方形が定まる. したがって,縦線7通り,横線4通りより,$7 \times 4=28(\text{個})$同様に,1辺が2の正方形は,縦線6通り,横線3通りより,$6 \times 3=18(\text{個})$1辺が3の正方形は,縦線5通り,横線2通りより,$5 \times 2=10(\text{個})$1辺が4の正方形は,縦線4通り,横線1通りより,$4 \times 1=4(\text{個})$よって,正方形の個数は,$28+18+10+4=60(\text{個})$(3)(1),(2)より,長方形の個数は280個,正方形の個数は60個である. よって,長方形であって正方形ではないものの個数は,$280-60=220(\text{個})$
