【数学A】例題1.2.14：グループ分け（One More）★★

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% 例題A1.2.14：グループ分け（One More）★★
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9人を次のようなグループに分ける方法は何通りあるか．

(1) 5人，3人，1人のグループ

(2) 3人ずつA，B，Cのグループ

(3) 3人ずつ3つのグループ

(4) 5人，2人，2人のグループ

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% 例題A1.2.14の解答（One More）★★
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(1) 9人から5人を選び，残りの4人から3人を選ぶと，残りの1人は1つのグループになる．

よって，求める分け方の総数は，${}_9\mathrm{C}_5\times{}_4\mathrm{C}_3\times 1=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\times\frac{4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 1}\times 1=504(\text{通り})$

(2) 9人からAグループに入る3人を選び，残りの6人からBグループに入る3人を選ぶと，残りの3人をCグループとすればよい．

よって，求める分け方の総数は，${}_9\mathrm{C}_3\times{}_6\mathrm{C}_3\times 1=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}\times\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\times 1=1680(\text{通り})$

(3) (2)において，3つのA，B，Cグループの区別をなくすと，同じものが$3!$通りずつできる．

よって，求める分け方の総数は，$({}_9\mathrm{C}_3\times{}_6\mathrm{C}_3)\div 3!=1680\div 6=280(\text{通り})$

(4) 9人をA，B，Cグループの3グループに分けるとき，5人，2人，2人と分ける方法は，${}_9\mathrm{C}_5\times{}_4\mathrm{C}_2\times 1(\text{通り})$

B，Cグループの区別をなくすと，同じものが$2!$通りずつできる．

よって，求める分け方の総数は，$({}_9\mathrm{C}_5\times{}_4\mathrm{C}_2\times 1)\div 2!=756\div 2=378(\text{通り})$

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% 問題A1.2.14：グループ分け（One More）★★
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8人を次のようなグループに分ける方法は何通りあるか．

(1) 4人，3人，1人のグループ

(2) 4人ずつA，Bのグループ

(3) 4人ずつ2つのグループ

(4) 4人，2人，2人のグループ

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% 問題A1.2.14の解答（One More）★★
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(1) 8人から4人を選び，残りの4人から3人を選ぶと，残りの1人は1つのグループになる．

よって，求める分け方の総数は，${}_8\mathrm{C}_4\times{}_4\mathrm{C}_3\times 1=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\times\frac{4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 1}\times 1=280(\text{通り})$

(2) 8人からAグループに入る4人を選び，残りの4人をBグループとすればよい．

よって，求める分け方の総数は，${}_8\mathrm{C}_4\times 1=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\times 1=70(\text{通り})$

(3) (2)において，A，Bグループの区別をなくすと，同じものが$2!$通りずつできる．

よって，求める分け方の総数は，${}_8\mathrm{C}_4\div 2!=70\div 2=35(\text{通り})$

(4) 8人をA，B，Cグループの3グループに分けるとき，4人，2人，2人と分ける方法は，${}_8\mathrm{C}_4\times{}_4\mathrm{C}_2\times 1(\text{通り})$

B，Cグループの区別をなくすと，同じものが$2!$通りずつできる．

よって，求める分け方の総数は，$({}_8\mathrm{C}_4\times{}_4\mathrm{C}_2\times 1)\div 2!=420\div 2=210(\text{通り})$

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% 例題A1.2.14の側注：グループ分け（One More）★★
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% 側注1
例えば1人，3人，5人の順に並んでいても結果は同じになる．

% 側注2
${}_9\mathrm{C}_5\times{}_4\mathrm{C}_3\times{}_1\mathrm{C}_1$としてもよい．

% 側注3
積の法則を用いる．

% 側注4
区別しないグループの数の階乗で割る．

% 側注5
B，Cは人数が同じであることから，区別をしないときは同じものとして考える．Aは人数が違うことから，常に区別される．

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% 問題A1.2.14の側注：グループ分け（One More）★★
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% 側注1
${}_8\mathrm{C}_4\times{}_4\mathrm{C}_3\times{}_1\mathrm{C}_1$としてもよい．

% 側注2
積の法則を用いる．

% 側注3
区別しないグループの数の階乗で割る．

% 側注4
B，Cは人数が同じであることから，区別をしないときは同じものとして考える．Aは人数が違うことから，常に区別される．

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% 例題A1.2.14の考え方・補足など：グループ分け（One More）★★
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% 考え方
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区別することができないグループは，区別をなくすことを考えなければならないので注意すること．(1)は人数の違いから区別できる．(2)はグループがA，B，Cと名称がついているから，区別できる．(3)の3人，3人，3人の3グループと(4)の2人，2人の2グループは，人数が同じであることから区別することができないので，$3!$や$2!$で割ることによって，区別をなくすことを考える．

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% (3)において$3!$で割ることについての補足
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例えば，9人をそれぞれ$a,b,c,d,e,f,g,h,i$とし，$\{a,b,c\},\{d,e,f\},\{g,h,i\}$のように3グループに分けた場合を考える．このとき，グループをA，B，Cと区別して考えると，右のような分け方があり，$3!$通りある．グループに区別がなくなると，これらを$\{a,b,c\},\{d,e,f\},\{g,h,i\}$の1通りとして考えることになる．他の分け方である，$\{a,d,g\},\{b,e,h\},\{c,f,i\}$についても同様に考えることができるので，グループに区別をなくすときは$3!$で割る．

\[
\begin{array}{ccc}
\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
&&\\
\end{array}
\]

$\begin{array}{ccc}\{a,b,c\},&\{d,e,f\},&\{g,h,i\}\\\{a,b,c\},&\{g,h,i\},&\{d,e,f\}\\\{d,e,f\},&\{a,b,c\},&\{g,h,i\}\\\{d,e,f\},&\{g,h,i\},&\{a,b,c\}\\\{g,h,i\},&\{a,b,c\},&\{d,e,f\}\\\{g,h,i\},&\{d,e,f\},&\{a,b,c\}\end{array}\}3!\text{通り}$