問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A1.2.19：同じものを含む順列と組合せ（One More）★★★
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10個の数字$1,1,1,1,2,2,2,3,3,4$のうち4個を用いてできる4桁の整数の個数を求めよ．
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% 例題A1.2.19の解答（One More）★★★
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1，2，3，4のいずれかを$A,B,C,D$で表す．ただし，$A,B,C,D$はすべて異なる数字であるとする．
(i) 4個の数がすべて同じ$\{A,A,A,A\}$のとき
$A$に入る数は1のみであるから，1通り
(ii) 4個のうち3個の数が同じ$\{A,A,A,B\}$のとき
$A$に入る数は1か2であるから，2通り
$B$に入る数は$A$以外の3通り
選んだ4個の数の並び方は，$\frac{4!}{3!}$通り
したがって，$2\times 3\times\frac{4!}{3!}=24\text{(通り)}$
(iii) 4個のうち2個ずつ数が同じ$\{A,A,B,B\}$のとき
$A$，$B$に入る数は，${}_3\mathrm{C}_2$通り
選んだ4個の数の並び方は，$\frac{4!}{2!2!}$通り
したがって，${}_3\mathrm{C}_2\times\frac{4!}{2!2!}=18\text{(通り)}$
(iv) 4個のうち2個の数が同じで，残りの数は異なる$\{A,A,B,C\}$のとき
$A$に入る数は，${}_3\mathrm{C}_1$通り
$B$,$C$に入る数は残りの${}_3\mathrm{C}_2$通り
選んだ4個の数の並び方は，$\frac{4!}{2!}$通り
したがって，${}_3\mathrm{C}_1\times{}_3\mathrm{C}_2\times\frac{4!}{2!}=108\text{(通り)}$
(v) 4個の数がすべて異なる$\{A,B,C,D\}$のとき
4個の数の並び方は，$4!=24\text{(通り)}$
よって，(i)〜(v)より，
\[
1+24+18+108+24=175(\text{個})
\]
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% 問題A1.2.19：同じものを含む順列と組合せ（One More）★★★
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9個の数字$5,5,5,5,6,6,6,7,7$のうち4個を用いてできる4桁の整数の個数を求めよ．
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% 問題A1.2.19の解答（One More）★★★
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5，6，7のいずれかを$A,B,C$で表す．ただし，$A,B,C$はすべて異なる数字であるとする．
(i) 4個の数がすべて同じ$\{A,A,A,A\}$のとき
$A$に入る数は5のみであるから，1通り
(ii) 4個のうち3個の数が同じ$\{A,A,A,B\}$のとき
$A$に入る数は5か6であるから，2通り
$B$に入る数は$A$以外の2通り
選んだ4個の数の並び方は，$\frac{4!}{3!}$通り
したがって，$2\times 2\times\frac{4!}{3!}=16\text{(通り)}$
(iii) 4個のうち2個ずつ数が同じ$\{A,A,B,B\}$のとき
$A$，$B$に入る数は，${}_3\mathrm{C}_2$通り
選んだ4個の数の並び方は，$\frac{4!}{2!2!}$通り
したがって，${}_3\mathrm{C}_2\times\frac{4!}{2!2!}=18\text{(通り)}$
(iv) 4個のうち2個の数が同じで，残りの数は異なる$\{A,A,B,C\}$のとき
$A$に入る数は，${}_3\mathrm{C}_1$通り
選んだ4個の数の並び方は，$\frac{4!}{2!}$通り
したがって，${}_3\mathrm{C}_1\times\frac{4!}{2!}=36\text{(通り)}$
よって，(i)〜(iv)より，$1+16+18+36=71(\text{個})$
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