% 例題A1.2.21：重複組合せ （One More）★★★
a,b,cの3個の文字の中から,重複を許して5個取り出す組合せは何通りあるか.
% 解答（例題A1.2.21）
取り出す5個の文字を$\bigcirc$で表し,3種類の文字の区切りを2本の$|$で表すとする. 5個の$\bigcirc$と2本の$|$を1列に並べて, \begin{center} 1本目の$|$より左側にある$\bigcirc$はすべてa, 1本目と2本目の$|$の間にある$\bigcirc$はすべてb, 2本目の$|$より右側にある$\bigcirc$はすべてc \end{center} を表すとする. このとき,a,b,cから重複を許して5個取り出す組合せは,5個の$\bigcirc$と2本の$|$を並べる順列に一致する. よって,求める組合せの総数は,$$\frac{7!}{5!2!}=21(\text{通り})$$別解：$\bigcirc$と$|$の個数を合わせた$5+2=7$（個）の場所から,$\bigcirc$が入る5個の場所を選ぶと考えられるから,$${ }_7 \mathrm{C}_5={ }_7 \mathrm{C}_2=21(\text{通り})$$
% 問題A1.2.21
x,y,z,wの4個の文字の中から,重複を許して6個取り出す組合せは何通りあるか.
% 解答A1.2.21
取り出す6個の文字を$\bigcirc$で表し,4種類の文字の区切りを3本の$|$で表すとする. 6個の$\bigcirc$と3本の$|$を1列に並べて, \begin{center} 1本目の$|$より左側にある$\bigcirc$はすべてx, 1本目と2本目の$|$の間にある$\bigcirc$はすべてy, 2本目と3本目の$|$の間にある$\bigcirc$はすべてz, 3本目の$|$より右側にある$\bigcirc$はすべてw \end{center} を表すとする. このとき,x,y,z,wから重複を許して6個取り出す組合せは,6個の$\bigcirc$と3本の$|$を並べる順列に一致する. よって,求める組合せの総数は,$$\frac{9!}{6!3!}=84(\text{通り})$$別解：$\bigcirc$と$|$の個数を合わせた$6+3=9$（個）の場所から,$\bigcirc$が入る6個の場所を選ぶと考えられるから,$${ }_9 \mathrm{C}_6={ }_9 \mathrm{C}_3=84(\text{通り})$$
