【数学A】例題1.2.22：整数解の個数（One More）★★★★

% 例題A1.2.22：整数解の個数 （One More）★★★★
次の式を満たす整数の組$(x,y,z)$は何通りあるか. (1)$x+y+z=9,x \geqq 0,y \geqq 0,z \geqq 0$(2)$x+y+z=9,x \geqq 1,y \geqq 1,z \geqq 1$(3)$x+y+z \leqq 9,x \geqq 0,y \geqq 0,z \geqq 0$

% 解答（例題A1.2.22）
(1)求める組の総数は,9個の$\bigcirc$と2本の$|$の並び方を考えると,$${ }_{11} \mathrm{C}_{9}={ }_{11} \mathrm{C}_2=55(\text{通り})$$(2)9個の$\bigcirc$のうち,先に3個の$\bigcirc$を1個ずつ$x,y,z$に割り振ると考え,残りの6個の$\bigcirc$を$x,y,z$で割り振ればよい.つまり,求める組の総数は,6個の$\bigcirc$と2本の$|$の並び方を考えると,$${ }_8 \mathrm{C}_6={ }_8 \mathrm{C}_2=28(\text{通り})$$(3)求める組の総数は,9個の$\bigcirc$と3本の$|$を1列に並べて, \begin{center} 1本目の$|$より左側にある$\bigcirc$の個数は$x$の値, 1本目と2本目の$|$の間にある$\bigcirc$の個数は$y$の値, 2本目と3本目の$|$間にある$\bigcirc$の個数は$z$の値 \end{center} を表すとすると,求める組の総数は,$${ }_{12} \mathrm{C}_{9}={ }_{12} \mathrm{C}_3=220(\text{通り})$$

% 問題A1.2.22
次の式を満たす整数の組$(x,y,z)$は何通りあるか. (1)$x+y+z=8,x \geqq 0,y \geqq 0,z \geqq 0$(2)$x+y+z=8,x \geqq 1,y \geqq 1,z \geqq 1$(3)$x+y+z \leqq 8,x \geqq 0,y \geqq 0,z \geqq 0$

% 解答A1.2.22
(1)求める組の総数は,8個の$\bigcirc$と2本の$|$の並び方を考えると,$${ }_{10} \mathrm{C}_{8}={ }_{10} \mathrm{C}_2=45(\text{通り})$$(2)8個の$\bigcirc$のうち,先に3個の$\bigcirc$を1個ずつ$x,y,z$に割り振ると考え,残りの5個の$\bigcirc$を$x,y,z$で割り振ればよい.つまり,求める組の総数は,5個の$\bigcirc$と2本の$|$の並び方を考えると,${ }_7 \mathrm{C}_5={ }_7 \mathrm{C}_2=21(\text{通り})$(3)求める組の総数は,8個の$\bigcirc$と3本の$|$を1列に並べて, \begin{center} 1本目の$|$より左側にある$\bigcirc$の個数は$x$の値, 1本目と2本目の$|$の間にある$\bigcirc$の個数は$y$の値, 2本目と3本目の$|$間にある$\bigcirc$の個数は$z$の値 \end{center} を表すとすると,求める組の総数は,${ }_{11} \mathrm{C}_{8}={ }_{11} \mathrm{C}_3=165(\text{通り})$