【数学A】例題1.2.23：大小関係を満たす整数（One More）★★★

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% 例題A1.2.23：大小関係を満たす整数（One More）★★★
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$a,b,c,d$を0から9までの整数とするとき，次の条件を満たす$a,b,c,d$の組は何通りあるか．

(1) $a<b<c<d$

(2) $a\leqq b\leqq c\leqq d$

(3) $a<b\leqq c<d$

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% 例題A1.2.23の解答（One More）★★★
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(1) 0から9までの10個の数から異なる4個を選び，小さい数から順に$a,b,c,d$とすればよいから，

\[
{}_{10}\mathrm{C}_4=210(\text{通り})
\]

(2) 0から9までの10個の数から重複を許して4個を選び，小さい数から順に$a,b,c,d$とすればよい．

よって，求める組の総数は4個の$\bigcirc$と9本の$|$を並べる順列に一致するから，

\[
{}_{13}\mathrm{C}_4=715(\text{通り})
\]

(3)

(i) $a<b=c<d$のとき

0から9までの10個の数から異なる3個を選び，小さい数から順に$a,b,d$とし，$c=b$とすればよいから，

\[
{}_{10}\mathrm{C}_3=120\text{(通り)}
\]

(ii) $a<b<c<d$のとき

(1)より，${}_{10}\mathrm{C}_4=210(\text{通り})$

よって，(i)，(ii)より，$120+210=330(\text{通り})$

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% 問題A1.2.23：大小関係を満たす整数（One More）★★★
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$a,b,c,d,e$を0から9までの整数とするとき，次の条件を満たす$a,b,c,d,e$の組は何通りあるか．

(1) $a<b<c<d<e$

(2) $a\leqq b\leqq c\leqq d\leqq e$

(3) $a<b\leqq c<d<e$

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% 問題A1.2.23の解答（One More）★★★
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(1) 0から9までの10個の数から異なる5個を選び，小さい数から順に$a,b,c,d,e$とすればよいから，

\[
{}_{10}\mathrm{C}_5=252(\text{通り})
\]

(2) 0から9までの10個の数から重複を許して5個を選び，小さい数から順に$a,b,c,d,e$とすればよい．

よって，求める組の総数は5個の$\bigcirc$と9本の$|$を並べる順列に一致するから，

\[
{}_{14}\mathrm{C}_5=2002(\text{通り})
\]

(3)

(i) $a<b=c<d<e$のとき

0から9までの10個の数から異なる4個を選び，小さい数から順に$a,b,d,e$とし，$c=b$とすればよいから，

\[
{}_{10}\mathrm{C}_4=210\text{(通り)}
\]

(ii) $a<b<c<d<e$のとき

(1)より，${}_{10}\mathrm{C}_5=252(\text{通り})$

よって，(i)，(ii)より，$210+252=462(\text{通り})$

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% 例題A1.2.23の側注：大小関係を満たす整数（One More）★★★
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% 側注1
$b=c$となるから，異なる3個の数を選べばよい．

% 側注2
例えば2，3，6，9を選ぶとき，$a=2,b=3,c=6,d=9$と対応させる．

% 側注3
10種類の数から4個を取る重複組合せの数であるから，
\[
{}_{10}\mathrm{H}_4={}_{10+4-1}\mathrm{C}_4={}_{13}\mathrm{C}_4
\]

また，同じものを含む順列として，$\frac{13!}{4!9!}$でも求められる．

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% 問題A1.2.23の側注：大小関係を満たす整数（One More）★★★
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% 側注1
$b=c$となるから，異なる4個の数を選べばよい．

% 側注2
例えば1，3，5，6，9を選ぶとき，$a=1,b=3,c=5,d=6,e=9$と対応させる．

% 側注3
10種類の数から5個を取る重複組合せの数であるから，
\[
{}_{10}\mathrm{H}_5={}_{10+5-1}\mathrm{C}_5={}_{14}\mathrm{C}_5
\]

また，同じものを含む順列として，$\frac{14!}{5!9!}$でも求められる．

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% 例題A1.2.23の考え方・補足など：大小関係を満たす整数（One More）★★★
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% 考え方
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(1) 0から9までの10個の数から4個の数を選び，小さい順に$a,b,c,d$とする．

(2) 与えられている不等式に$\leqq$が含まれていることより，0から9までの10個の数から重複を許して（例えば3，5，5，8）4個の数を選び，小さい順に$a,b,c,d$とする．つまり，4個の$\bigcirc$と9本の$|$を並べる順列と考えればよい．

\[
|||\bigcirc||\bigcirc\bigcirc|||\bigcirc|\rightarrow\underbrace{}_{0}|\underbrace{}_{1}|\underbrace{}_{2}|\underbrace{\bigcirc}_{3}|\underbrace{}_{4}|\underbrace{\bigcirc\bigcirc}_{5}|\underbrace{}_{6}|\underbrace{}_{7}|\underbrace{\bigcirc}_{8}|\underbrace{}_{9}\cdots a=3,b=5,c=5,d=8
\]

(3) 与えられている不等式に$<$と$\leqq$の2種類が含まれていることから，場合分けを考える．