% 例題A1.2.8：部屋割りの問題 （One More）★★★
4人が$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$の3つの部屋に入るとき,次の場合のような入り方は何通りあるか. (1)空き部屋があってもよい場合 (2)空き部屋がないようにする場合
% 解答（例題A1.2.8）
(1)4人それぞれが部屋に入る入り方は,A,B,Cの3通りずつあるから,$$3^4=81(\text{通り})$$(2)(1)で求めた総数から,空き部屋の数が2つまたは1つとなる場合を除けばよい. (i)空き部屋が2つのとき 空き部屋が2つとなるのは,AかBかCの1つの部屋に4人全員が入るときであるから,3通り (ii)空き部屋が1つのとき 空き部屋が1つとなるとき,空き部屋となる部屋の選び方は,3通り そのそれぞれについて,4人の2つの部屋への入り方は,$2^4$通り このうち,1つの部屋に全員が入るときが2通りあるから,1つの部屋だけが空き部屋になる分け方は,$$3 \times(2^4-2)=42(\text{通り})$$よって,(1)と(i),(ii)より,求める入り方は,$$81-(3+42)=36(\text{通り})$$
% 問題A1.2.8
5人が$\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}$の3つの部屋に入るとき,次の場合のような入り方は何通りあるか. (1)空き部屋があってもよい場合 (2)空き部屋がないようにする場合
% 解答A1.2.8
(1)5人それぞれが部屋に入る入り方は,X,Y,Zの3通りずつあるから,$$3^5=243(\text{通り})$$(2)(1)で求めた総数から,空き部屋の数が2つまたは1つとなる場合を除けばよい. (i)空き部屋が2つのとき 空き部屋が2つとなるのは,XかYかZの1つの部屋に5人全員が入るときであるから,{3}通り (ii)空き部屋が1つのとき 空き部屋が1つとなるとき,空き部屋となる部屋の選び方は,{3}通り そのそれぞれについて,5人の2つの部屋への入り方は,$2^5$通り このうち,1つの部屋に全員が入るときが2通りあるから,1つの部屋だけが空き部屋になる分け方は$${3} \times(2^5-2)={90}(\text{通り})$$よって,(1)と(i),(ii)より,求める入り方は,$$243-({3}+{90})=150(\text{通り})$$
