% 節末A2.1.1★★
1から10までの番号が1つずつ書かれた10枚のカードから1枚取り出し,その数字を記録して元に戻す.この操作を3回繰り返し,記録した数を順に$x,y,z$とする.このとき,次の確率を求めよ. (1)$\frac{y}{x}$が整数になる確率 (2)$x<y<z$になる確率
% 節末A2.1.2★★
12人が円形に座るとき,次の確率を求めよ. (1)特定の2人$\mathrm{X},\mathrm{Y}$が1人おいて隣り合う確率 (2)特定の3人$\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}$が1人ずつおいて隣り合う確率
% 節末A2.1.3★★★
赤玉5個,白玉3個,青玉4個の合計12個の玉が入っている袋の中から,3個の玉を同時に取り出すとき,次の確率を求めよ. (1)3個の玉がすべて同じ色である確率 (2)3個とも色が異なる確率 (3)少なくとも1個は青玉である確率
% 節末A2.1.4★★
箱の中に赤玉5個,白玉2個,青玉4個が入っている.この箱から同時に3個の玉を取り出すとき,次の確率を求めよ. (1)玉の色が少なくとも2種類ある (2)取り出した玉の色がちょうど2種類になる
% 節末A2.1.5★★★
$n$人でじゃんけんを1回行うとき,次の確率を求めよ.ただし,$n \geqq 5$とする. (1)ちょうど4人が勝つ (2)あいこになる
% 節末A2.2.1★★
X,Yの2人が繰り返しあるゲームで対戦し,先に4ゲーム勝った方が優勝者とする.各ゲームにおいてXが勝つ確率は$\frac{3}{4}$で,引き分けはないものとする.このとき,次の問いに答えよ. (1)4ゲーム目で優勝が決まる確率を求めよ. (2)5ゲーム目でXが優勝する確率を求めよ.
% 節末A2.2.2★★★
1個のさいころを4回投げるとき,1の目と6の目が同じ回数だけ出る確率を求めよ.
% 節末A2.2.3★★★★
12本のくじの中に3本の当たりくじがある.当たりくじを2回引くまで繰り返しくじを引くとき,$n$回目で終わる確率$p_n$を最大にする$n$の値を求めよ.ただし,引いたくじは毎回もとに戻すものとする.
% 節末A2.2.4★★
あるコンテストで,$a$が優勝する確率は$70\%$である.4回に1回の割合でうそをつく$b$が$a$の結果を知ったうえで「$a$が優勝した」と発言した.このとき,$a$が本当に優勝した確率を求めよ.
% 節末A2.2.5★★★★
原点$\mathrm{O}$から出発して,数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある.$\mathrm{P}$は,1枚の硬貨を投げて表が出た場合には$+5$,裏が出た場合は$+3$移動する.硬貨を続けて投げていき,点$\mathrm{P}$の座標が初めて$18$以上になるまでの投げた回数を$X$とする. (1)$X=4$となる確率を求めよ. (2)$X$の期待値を求めよ.
% 章末A2.1★★★
正六角形の頂点を反時計回りに$1$から$6$までの番号を付ける.$1$個のさいころを$3$回投げて,出た目の番号に対応する頂点を線分で結び図形を作るとき,次の確率を求めよ. (1)三角形ができる確率 (2)正三角形ができる確率 (3)直角三角形ができる確率
% 章末A2.2★★★
座標平面上の原点$\mathrm{O}$から出発して,毎回確率$\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$でそれぞれ左,上,右へ1ずつ移動する点$\mathrm{Q}$がある.8回の移動後に点$(2,4)$にいる確率を求めよ.
% 章末A2.3★★★★
3個のさいころ$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$を同時に振り,出た目の最小値が3であったとき,最大値が5である条件付き確率を求めよ.
% 章末A2.4★★★
箱の中に4個の白玉と$n$個の赤玉が入っている.この箱から同時に2個の玉を取り出したとき,赤玉の数を$X$とする.$X$の期待値が1.5であるとき,$n$の値を求めよ.ただし,$n \geqq 2$であるとする.
% 章末A2.5★★★★
2つのチームA,Bが繰り返し試合をして,先に4勝した方を優勝チームとする.各試合においてAが勝つ確率は$\frac{2}{3}$で,引き分けはないとする.このとき,優勝チームが決まるまでの試合数の期待値を求めよ.
% 解答（節末）A2.1.1
(1)$x,y$の取り出し方は$10^2 = 100 (\text{通り})$ (i)$x=1$のとき,$y$は$1,2,\ldots,10$の$10$通り (ii)$x=2$のとき,$y$は2の倍数であり,$5$通り (iii)$x=3$のとき,$y$は3の倍数であり,$3$通り (iv)$x=4$のとき,$y$は4の倍数であり,$2$通り (v)$x=5$のとき,$y$は5の倍数であり,$2$通り (vi)$x=6$のとき,$y$は6の$1$通り (vii)$x=7,8,9,10$のとき,$y$は$y=x$の$1$通り (i)〜(vii)より,$\frac{y}{x}$が整数となる場合の数は, $ 10 + 5 + 3 + 2 + 2 + 1 + 4 \times 1 = 27 (\text{通り})$ よって,求める確率は, $ \frac{27}{100}$ (2)$x,y,z$の取り出し方は$10^3 = 1000 (\text{通り})$ $x<y<z$となる場合の数は,1から10までの10個の数字から異なる3個を選び,それらを小さい方から順に$x,y,z$と定めればよいから, $$ {}_{10}\mathrm{C}_3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 (\text{通り})$$ よって,求める確率は, $$ \frac{{}_{10}\mathrm{C}_3}{10^3} = \frac{120}{1000} = \frac{3}{25}$$
% 解答（節末）A2.1.2
すべての場合の数は,12人の円順列であるから, $ (12-1)! = 11! (\text{通り})$ (1)X,Yとその間に座る1人をまとめて1組と考えると,残りの9人と合わせた10個の円順列より, $$ (10-1)! = 9! (\text{通り}) $$ $\mathrm{X},\mathrm{Y}$の2人の並び方は,$2!$通り $\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の間に座る1人は残りの10人から選ぶので,${}_{10}\mathrm{C}_1$通り したがって,$\mathrm{X},\mathrm{Y}$が1人おいて隣り合う座り方の総数は, $ 9! \times 2! \times {}_{10}\mathrm{C}_1 (\text{通り})$ よって,求める確率は, $ \frac{9! \times 2! \times {}_{10}\mathrm{C}_1}{11!} = \frac{2}{11}$ (2)$\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}$とその間に座る2人をまとめて1組と考えると,残りの7人と合わせた8個の円順列より, $ (8-1)! = 7! (\text{通り})$ $\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}$の3人の並び方は,$3!$通り 間に座る2人は残りの9人から選んで並べるので,その場合の数は,${}_9\mathrm{P}_2$通り したがって,$\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}$が1人ずつおいて隣り合う座り方の総数は, $$ 7! \times 3! \times {}_9\mathrm{P}_2 (\text{通り}) $$ よって,求める確率は, $ \frac{7! \times 3! \times {}_9\mathrm{P}_2}{11!} = \frac{3}{55}$
% 解答（節末）A2.1.3
12個の玉から3個の玉を取り出す方法の総数は, $ {}_{12}\mathrm{C}_3 = 220 (\text{通り}) $ (1)3個とも赤玉のとき,赤玉5個から3個を取り出す場合の数は,${}_5\mathrm{C}_3=10 (\text{通り})$ 3個とも白玉のとき,白玉3個から3個を取り出す場合の数は,${}_3\mathrm{C}_3=1 (\text{通り})$ 3個とも青玉のとき,青玉4個から3個を取り出す場合の数は,${}_4\mathrm{C}_3=4 (\text{通り})$ よって,求める確率は, $ \frac{10}{220}+\frac{1}{220}+\frac{4}{220} = \frac{3}{44}$ (2)赤玉,白玉,青玉をそれぞれ1個ずつ選ぶ場合の数は, $$ {}_5\mathrm{C}_1 \times {}_3\mathrm{C}_1 \times {}_4\mathrm{C}_1 = 5 \times 3 \times 4 = 60 (\text{通り}) $$ よって,求める確率は $ \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$ (3)少なくとも1個は青玉である事象を$A$とすると,余事象$\overline{A}$は3個とも青玉ではない事象である. 青玉ではない玉の個数は,8個あるから,$\overline{A}$の場合の数は, $ {}_8\mathrm{C}_3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 (\text{通り})$ よって,求める確率は, $ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{56}{220} = \frac{41}{55}$
% 解答（節末）A2.1.4
11個の玉から3個の玉を取り出す場合の数は,${ }_{11} \mathrm{C}_3$通り (1)取り出される3個の玉の色が少なくとも2種類ある事象を$A$とすると,余事象$\overline{A}$はすべて同じ色の玉が取り出される事象である. 事象$\overline{A}$が起こる場合の数は, $ { }_5 \mathrm{C}_3+{ }_4 \mathrm{C}_3 (\text{通り}) $ よって,求める確率は, $$ P(A) =1-P(\overline{A}) =1-\frac{{ }_5 \mathrm{C}_3+{ }_4 \mathrm{C}_3}{{ }_{11} \mathrm{C}_3}=1-\frac{14}{165}=\frac{151}{165} $$ (2)取り出される3個の玉の色がすべて異なる確率は, $$ \frac{{ }_5 \mathrm{C}_1 \times{ }_2 \mathrm{C}_1 \times{ }_4 \mathrm{C}_1}{{ }_{11} \mathrm{C}_3}=\frac{40}{165} $$ 玉の色が2種類である事象の余事象は,玉の色が1種類または3種類である事象であるから,玉の色がちょうど2種類になる確率は, $$ 1-\left(\frac{14}{165}+\frac{40}{165}\right)=\frac{111}{165}=\frac{37}{55} $$
% 解答（節末）A2.1.5
$n$人のじゃんけんの手の出し方は,$3^n$通り (1)勝つ4人の選び方は,${ }_n \mathrm{C}_4$通りであり, その勝つ4人の手の出し方は,${ }_3 \mathrm{C}_1$通りであるから,その場合の数は, $$ { }_n \mathrm{C}_4 \times { }_3 \mathrm{C}_1 = { }_n \mathrm{C}_4 \times 3 (\text{通り}) $$ よって,求める確率は, $$ \frac{{ }_n \mathrm{C}_4 \times 3}{3^n} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3) \times 3}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 3^n} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{8 \cdot 3^n} $$ (2)あいこになる事象は,勝敗が決まる事象の余事象である. 勝敗が決まるのは,ちょうど2種類の手が出る場合である. 2種類の手の選び方は,${ }_3 \mathrm{C}_2$通りであり,その 手の出し方は,$(2^n - 2)$通り よって,求める確率は, $$ 1 - \frac{{ }_3 \mathrm{C}_2 \cdot (2^n - 2)}{3^n} = \frac{3^n - 3 \cdot 2^n + 6}{3^n} $$
% 解答（節末）A2.2.1
(1)Xが4連勝で勝つ確率は, $ \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256}$ 1回のゲームでYが勝つ確率は, $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ であるから,Yが4連勝で勝つ確率は, $$ \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256}$$ よって,求める確率は, $ \frac{81}{256} + \frac{1}{256} = \frac{82}{256} = \frac{41}{128}$ (2)Xが4ゲーム目までに3勝1敗となり,5ゲーム目に勝つ確率であるから, $$ { }_4 \mathrm{C}_3 \left(\frac{3}{4}\right)^3 \left(\frac{1}{4}\right)^1 \times \frac{3}{4}= \frac{81}{256} $$
% 解答（節末）A2.2.2
さいころを1回投げるとき,1の目,6の目が出る確率は,それぞれ$\frac{1}{6}$であり,1,6以外の目が出る確率は,$\frac{2}{3}$である. 1の目と6の目が出る回数が同じであるのは,1の目と6の目の出る回数が0回,1回,2回の3つの場合がある. (i)1の目と6の目が1回も出ないとき $$ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} $$ (ii)1の目と6の目が1回ずつ出るとき $$ \frac{4!}{2!1!1!} \times \left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{27} $$ (iii)1の目と6の目が2回ずつ出るとき $$ \frac{4!}{2!2!} \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{216} $$ よって,(i)〜(iii)より,求める確率は, $$ \frac{16}{81} + \frac{4}{27} + \frac{1}{216} = \frac{227}{648} $$
% 解答（節末）A2.2.3
このくじから1本を引くとき,当たりくじを引く確率は$\frac{1}{4}$であり,$n \geqq 2$である. $n$回目で終わるのは,$n-1$回目までに当たりくじを1回引き,$n$回目で当たりくじを引くときであるから, $$ p_n={ }_{n-1} \mathrm{C}_1\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2} \times \frac{1}{4}=\frac{3^{n-2}(n-1)}{4^n} $$ $n=2,3,\ldots,12$において,$p_{n+1}$と$p_n$の比を求めると, $$ \frac{p_{n+1}}{p_n} =\frac{3^{n-1} n}{4^{n+1}} \div \frac{3^{n-2}(n-1)}{4^n} =\frac{n}{n-1} \cdot \frac{3^{n-1} \cdot 4^n}{3^{n-2} \cdot 4^{n+1}}=\frac{3 n}{4(n-1)} $$ (i)$\frac{p_{n+1}}{p_n} \geqq 1$のとき $\frac{3 n}{4(n-1)} \geqq 1$より,$3 n \geqq 4(n-1)$であるから,$n \leqq 4$ したがって,$n=2,3$のとき,$\frac{p_{n+1}}{p_n}>1$より,$p_n<p_{n+1}$ $n=4$のとき,$p_4=p_5$ (ii)$\frac{p_{n+1}}{p_n}<1$のとき $\frac{3 n}{4(n-1)} < 1$より,$3 n < 4(n-1)$であるから,$n > 4$ したがって,$n=5,6,\ldots,12$のとき,$\frac{p_{n+1}}{p_n}<1$より,$p_n>p_{n+1}$ (i),(ii)より$ p_2<p_3<p_4,p_4=p_5,p_5>p_6>\cdots >p_{11}>p_{12}$ よって,$p_n$を最大にする$n$の値は,$n=4,5$
% 解答（節末）A2.2.4
このコンテストで,$a$が優勝する事象を$E$,$b$が「$a$が優勝した」と発言する事象を$F$とする. $$ \begin{aligned} & P(E \cap F)=P(E) \times P_E(F)=\frac{70}{100} \times \frac{3}{4}=\frac{21}{40},\\ & P(\overline{E} \cap F)=P(\overline{E}) \times P_{\overline{E}}(F)=\frac{30}{100} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{40} \end{aligned} $$ したがって, $$ P(F)=P(E \cap F)+P(\overline{E} \cap F)=\frac{21}{40}+\frac{3}{40}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5} $$ よって,求める確率は, $$ P_F(E)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}={\frac{21}{40}} \div {\frac{3}{5}}=\frac{7}{8} $$
% 解答（節末）A2.2.5
(1)4回投げて$\mathrm{P}$の座標が初めて$18$以上になるのは,4回とも表が出る場合と,4回のうち3回表,1回裏が出る場合があるから,その確率は, $$ \left(\frac{1}{2}\right)^4 + { }_4 \mathrm{C}_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{5}{16} $$ (2)硬貨を投げる回数が3回以下のとき,$\mathrm{P}$の座標は$18$以上にならない.また,硬貨を6回投げるまでに必ず$\mathrm{P}$の座標は$18$以上になる.つまり,$X$の値は$4,5,6$の3つの場合がある. (i)$X=4$のとき (1)より,その確率は,$\frac{5}{16}$ (ii)$X=5$のとき 2回表,2回裏で,5回目に表が出る確率は, $ { }_4 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16} $ 2回表,3回裏が出る確率は, $ { }_5 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{5}{16} $ したがって,$X=5$になる確率は, $$ \frac{3}{16} + \frac{5}{16}= \frac{1}{2} $$ (iii)$X=6$のとき 6回とも裏が出る確率は, $ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} $ 1回表,4回裏で,6回目に表が出る確率は, $ { }_5 \mathrm{C}_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^4\times\frac{1}{2} = \frac{5}{64} $ 1回表,5回裏が出る確率は, $ { }_6 \mathrm{C}_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{3}{32} $ したがって,$X=6$になる確率は, $$ \frac{1}{64} +\frac{5}{64}+ \frac{3}{32}= \frac{3}{16} $$ (i)〜(iii)より,$X$のとりうる値と,それぞれの値をとる確率は,次の表のようになる. \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|} \hline $X$&4&5&6&計\\ \hline 確率&$\frac{5}{16}$&$\frac{1}{2}$&$\frac{3}{16}$&1\\ \hline \end{tabular} よって,求める期待値は, $$ 4 \times \frac{5}{16} + 5 \times \frac{1}{2}+6\times\frac{3}{16}= \frac{39}{8} $$
% 解答（章末）A2.1
さいころを$3$回投げるとき,目の出方の総数は, $ 6^3 = 216 (\text{通り})$ (1)$3$点がすべて異なる場合の数は, $ {}_6\mathrm{P}_3 = 120 (\text{通り}) $ よって,求める確率は, $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ (2)正三角形ができるには,選ばれる$3$個の頂点が$\{1,3,5\}$または$\{2,4,6\}$のときであり,それぞれの目の出方は$3!$通りあるので,正三角形ができる目の出方は, $$2 \times 3! = 12 (\text{通り})$$ よって,求める確率は, $ \frac{12}{216} = \frac{1}{18}$ (3)向かい合う$2$個の頂点と残りの$4$個の頂点から$1$個の頂点を選ぶと,$1$個の直角三角形ができる.向かい合う$2$個の頂点の選び方は$3$組あるので,直角三角形は全部で, $$ 3 \times 4 = 12 (\text{個}) $$ それぞれの3個の番号の目の出方は$3!$通り したがって,直角三角形ができる目の出方は, $12 \times 3! = 72 (\text{通り})$ よって,求める確率は, $ \frac{72}{216} = \frac{1}{3} $
% 解答（章末）A2.2
左へ$x$回,上へ$y$回,右へ$z$回進むとすると, $ x+y+z=8\cdots(\mathrm{i}) $ このとき,$x$軸方向には$-x+z$,$y$軸方向には$y$動くので,移動後の座標は$(-x+z,y)$であるから, $ -x+z=2,y=4\cdots(\mathrm{ii}) $ (i),(ii)より,$x=1,y=4,z=3$ よって,求める確率は, $$ \frac{8!}{1!3!4!}\left(\frac{1}{4}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{35}{512} $$
% 解答（章末）A2.3
出た目の最小値が3であるという事象を$A$,最大値が5であるという事象を$B$とする. $A$は,出た目がすべて3以上である場合から,出た目がすべて4以上である場合を除いた場合であるから, $$ P(A) = \left(\frac{4}{6}\right)^3 - \left(\frac{3}{6}\right)^3 = \frac{64-27}{216} = \frac{37}{216} $$ また,最小値が3,最大値が5となる目の組合せは, $ \{3,3,5\},\{3,4,5\},\{3,5,5\} $ したがって,それぞれの確率を考えると, $$ P(A \cap B) = \frac{2 \times {}_3 \mathrm{C}_1 + 3!}{6^3} = \frac{12}{216} $$ よって,求める確率は, $$ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{12}{216} \div \frac{37}{216} = \frac{12}{37} $$
% 解答（章末）A2.4
$X=k$である確率を$P(X=k)$で表すとする. 玉の取り出し方の総数は, ${}_{n+4}\mathrm{C}_2$ 通り $X=1$となるのは,白玉と赤玉を1個ずつ取り出す場合であり,その確率は, $$ P(X=1) = \frac{{}_4\mathrm{C}_1 \cdot {}_n\mathrm{C}_1}{{}_{n+4}\mathrm{C}_2} = \frac{8n}{(n+4)(n+3)} $$ $X=2$となるのは,赤玉を2個取り出す場合であり,その確率は, $$ P(X=2) = \frac{{}_n\mathrm{C}_2}{{}_{n+4}\mathrm{C}_2} = \frac{n(n-1)}{(n+4)(n+3)} $$ したがって,$X$の期待値は, $$ \begin{aligned} &1 \times \frac{8n}{(n+4)(n+3)} + 2 \times \frac{n(n-1)}{(n+4)(n+3)} \\ &= \frac{8n + 2n(n-1)}{(n+4)(n+3)} = \frac{2n(n+3)}{(n+4)(n+3)} = \frac{2n}{n+4} \end{aligned} $$ よって,$\frac{2n}{n+4} = 1 .5$であるとき, $n = 12$
% 解答（章末）A2.5
(i)4試合目にAが優勝するとき Aが4勝0敗する場合であるから,その確率は, $ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} $ (ii)4試合目にBが優勝するとき Bが4勝0敗する場合であるから,その確率は, $ \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} $ (iii)5試合目にAが優勝するとき 4試合目までにAが3勝1敗となり,5試合目にAが勝つ場合であるから,その確率は, $$ { }_4 \mathrm{C}_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \times \frac{2}{3} = \frac{64}{243} $$ (iv)5試合目にBが優勝するとき 4試合目までにBが3勝1敗となり,5試合目にBが勝つ場合であるから,その確率は, $$ { }_4 \mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^1 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{243} $$ (v)6試合目にAが優勝するとき 5試合目までにAが3勝2敗となり,6試合目にAが勝つ場合であるから,その確率は, $$ { }_5 \mathrm{C}_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3} = \frac{160}{729} $$ (vi)6試合目にBが優勝するとき 5試合目までにBが3勝2敗となり,6試合目にBが勝つ場合であるから,その確率は, $$ { }_5 \mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} = \frac{40}{729} $$ (vii)7試合目に優勝チームが決まるとき 6試合目までにAとBが3勝3敗となり,このとき,7試合目はどちらのチームが勝っても優勝チームが決まるから,その確率は, $$ { }_6 \mathrm{C}_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times 1 = \frac{160}{729} $$ \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline 試合数&4&5&6&7&計\\ \hline 確率&$\frac{17}{81}$&$\frac{8}{27}$&$\frac{200}{729}$&$\frac{160}{729}$&1\\ \hline \end{tabular} よって,(i)〜(vii)より,求める試合数の期待値は, $$ 4 \times \frac{17}{81} + 5 \times \frac{8}{27} + 6 \times \frac{200}{729} + 7 \times \frac{160}{729} = \frac{4012}{729} $$
